🌉 Soal Dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri It absolutely not agree with the previous phrase

^{PostingKomentar untuk "Soal Cerita Turunan Fungsi Aljabar - Bank Soal Matematika Fungsi Turunan Pdf : Soal dan pembahasan aplikasi turunan,turunan fungsi aljabar." Popular Posts Kunci Jawaban Tebak Gambar Level 9 Nomor 1 Sampai 20 : Kunci Jawaban Tebak Gambar Level 10 Nomor 1 20 Beserta Gambarnya Lengkap Cademedia / Ini adalah kunci jawaban} Turunan fungsi aljabar merupakan salah satu subbab dari kalkulus diferensial. Di sini, kita akan mempelajari tentang aturan-aturan turunan pada fungsi aljabar. Lebih lanjut, aturan turunan tersebut selanjutnya diterapkan untuk menyelesaikan persoalan fungsi trigonometri. Di sesi ini, kita khusus membahas soal mengenai turunan fungsi aljabar. Soal-soal dikumpulkan dari berbagai literatur dengan tingkat kesulitan yang variatif untuk meningkatkan dan menguji pemahaman pembaca. Soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 280 KB. Aturan Turunan Berikut ini merupakan beberapa aturan turunan dasar yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan persoalan turunan fungsi aljabar. Aturan turunan fungsi konstan Jika $y = fx = c$ dengan $c \in \mathbb{R}$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$. Aturan turunan fungsi identitas Jika $y = fx = x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 1.$ Aturan turunan fungsi pangkat Jika $y = fx = x^n$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = nx^{n-1}.$ Aturan turunan fungsi berbentuk $y = ax^n$ Jika $y = fx = ax^n$ untuk suatu $a \in \mathbb{R}$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = anx^{n-1}.$ Turunan jumlah dan selisih fungsi-fungsi Jika $fx = y = u \pm v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \pm v’.$ Secara verbal turunan dari jumlah/selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah/selisih dari turunan masing-masing fungsi tersebut. Aturan hasil kali dalam turunan Jika $fx = y = u \cdot v$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = u’ \cdot v + u \cdot v’.$ Jika $fx = y = u \cdot v \cdot w$ dengan $u$, $v$, dan $w$ keduanya fungsi dari $x$, maka $$\begin{aligned} f'x & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ & = u \cdot v \cdot w’ + u \cdot v’ \cdot w + u’ \cdot v \cdot w \end{aligned}$$ Aturan hasil bagi dalam turunan Jika $fx = y = \dfrac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ keduanya fungsi dari $x$, maka $f'x = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{u’ \cdot v-u \cdot v’}{v^2}.$ Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Quote by Pam Leo You cannot teach children to behave better by making them feel worse. When children feel better, they behave better. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Jika $fx=x^2-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f'x= \cdots \cdot$ A. $x-x^{-2}$ B. $x+x^{-2}$ C. $2x+x^{-2}+1$ D. $2x-x^{-2}+1$ E. $2x+x^{-2}$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar. $\begin{aligned} fx & =x^2-\dfrac{1}{x}+1 \\ & = x^2-x^{-1}+1 \\ f'x & = 2x^{2-1}-1x^{-1-1}+0 \\ & = 2x+x^{-2} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{f'x = 2x+x^{-2}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 2 Jika $gx = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g'x = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$ B. $-x^3+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$ C. $\dfrac{1}{x^2}+x^2-2$ D. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2-2$ E. $\dfrac{1}{x^2}+3x^2+\dfrac12\sqrt{2x}$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar. $$\begin{aligned} gx & = \dfrac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x} \\ & = x^{-1}+x^3-\sqrt{2}x^{1/2} \\ g'x & = -1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2} \cdot \dfrac12x^{1/2-1} \\ & = -x^{-2}+3x^2-\dfrac12\sqrt2x^{-1/2} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt{x}} \\ & = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}$$Catatan $\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$ Jadi, hasil dari $\boxed{g'x = -\dfrac{1}{x^2}+3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Soal Nomor 3 Jika $Rt = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{3}{2\sqrt{t}}$ B. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2\sqrt{t}}$ C. $\dfrac32\sqrt{t} -\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}$ D. $\dfrac23\sqrt{t} -\dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$ E. $\dfrac32\sqrt{t} + \dfrac{1}{t^2\sqrt{t}}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} Rt & = t\sqrt{t} + \dfrac{1}{t\sqrt{t}} = t \cdot t^{1/2} + \dfrac{1}{t \cdot t^{1/2}} \\ & = t^{3/2} + t^{-3/2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t} & = \dfrac32t^{3/2-1}-\dfrac32t^{-3/2-1} \\ & = \dfrac32t^{1/2}-\dfrac32t^{-5/2} \\\\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}} \end{aligned}$ Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}Rt}{\text{d}t} = \dfrac{3}{2}\sqrt{t}-\dfrac{3}{2t^2\sqrt{t}}}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 4 Turunan pertama dari $fx=\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x}$ adalah $f'x$. Nilai dari $f'1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-5$ C. $4$ E. $10$ B. $2$ D. $5$ Pembahasan Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $fx$. $$\begin{aligned} fx & =\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{6}{x} \\ & = 4\underbrace{x-3}_{u}^{-1}-6x^{-1} \\ f'x & = 4-1x-3^{-2} \cdot \underbrace{1}_{u’}-6-1x^{-2} \\ & = -\dfrac{4}{x-3^2}+\dfrac{6}{x^2} \end{aligned}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh $\begin{aligned} f'1 & = -\dfrac{4}{\color{blue}{1}-3^2}+\dfrac{6}{\color{blue}{1}^2} \\ & = -\dfrac{4}{4} + \dfrac{6}{1} \\ & = -1+6 = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1 = 5}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 5 Turunan pertama dari $Hx = x^{2/3}4x-5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} + \dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ B. $\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ C. $\dfrac{10\sqrt[3]{x}}{3} -\dfrac{20}{3\sqrt[3]{x}}$ D. $\dfrac{-20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}$ E. $\dfrac{4x-5}{3\sqrt[3]{x}} -\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} Hx & = x^{2/3}4x-5 \\ & = 4x^{2/3} \cdot x-5x^{2/3} \\ & = 4x^{5/3}-5x^{2/3}. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} H'x & = 4 \cdot \dfrac53 \cdot x^{5/3-1}-5 \cdot \dfrac23 \cdot x^{2/3-1} \\ & = \dfrac{20}{3}x^{2/3}-\dfrac{10}{3}x^{-1/3} \\ & = \dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}. \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $Hx$ adalah $\boxed{\dfrac{20\sqrt[3]{x^2}}{3} -\dfrac{10}{3\sqrt[3]{x}}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan $fr = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}$. Nilai $f'1$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $5$ B. $1$ D. $4$ Pembahasan Diketahui $fr = 2r^{\frac32}-2r^{\frac12}.$ Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $fr$ adalah $\begin{aligned} f'r & = 2 \cdot \dfrac32r^{\frac32-1}-2 \cdot \dfrac12r^{\frac12-1} \\ & = 3r^{\frac12}-r^{-\frac12} \\ & = 3\sqrt{r}-\dfrac{1}{r}. \end{aligned}$ Untuk $r=1$, didapat $\boxed{f'1= 3\sqrt{1}-\dfrac{1}{1} = 3-1=2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y’ = 0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-1$ atau $1$ B. $-1$ atau $0$ C. $0$ atau $2$ D. $1$ atau $2$ E. $1$ atau $3$ Pembahasan Diketahui $y = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x-6.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $\begin{aligned} y’ & = \dfrac133x^2-\dfrac322x+2-0 \\ & = x^2-3x+2. \end{aligned}$ Misalkan $y’ = 0$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} x^2-3x+2 & = 0 \\ x-2x-1 & = 0 \\ x = 2~\text{atau}&~x = 1. \end{aligned}$ Jadi, nilai $x$ yang membuat $y’=0$ adalah $1$ atau $2$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Jika $fm = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2}$, maka nilai $f'1 = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{11}{4}$ C. $\dfrac74$ E. $\dfrac14$ B. $\dfrac{9}{4}$ D. $\dfrac54$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} fm & = 4 + \sqrt[4]{m^3} + 3 \sqrt[3]{m^2} \\ & = 4 + m^{3/4} + 3m^{2/3}. \end{aligned}$ Turunan pertama dari $fm$ adalah $$\begin{aligned} f'm & = 0 + \dfrac34m^{3/4-1} + \cancel{3} \cdot \dfrac{2}{\cancel{3}}m^{2/3-1} \\ & = \dfrac34m^{-1/4}+2m^{-1/3} \\ & = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{m}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{m}}. \end{aligned}$$Untuk $m=1$, diperoleh $f'1 = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{1}}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{1}} = \dfrac34 + 2 = \dfrac{11}{4}.$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1=\dfrac{11}{4}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Jika turunan pertama dari $y = x^2+1x^3-1$ adalah $y’ = ax^4+bx^2+cx$ dengan $a,b,c \in \mathbb{Z},$ maka nilai dari $abc = \cdots \cdot$ A. $-60$ C. $0$ E. $60$ B. $-30$ D. $30$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} y & = x^2+1x^3-1 \\ & = x^5-x^2+x^3-1. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} y’ & = 5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0 \\ & = 5x^4-2x+3x^2 \\ & = 5x^4+3x^2-2x. \end{aligned}$ Karena itu, kita peroleh $a = 5$, $b = 3$, dan $c = -2$. Catatan $\mathbb{Z}$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat. Jadi, $\boxed{abc = 53-2 = -30}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Turunan pertama dari $fx=x^23x-1^3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x15x+23x-1^2$ B. $x15x-23x-1^2$ C. $x9x+23x-1^2$ D. $x18x+23x-1^2$ E. $x18x-23x-1^2$ Pembahasan Diketahui $fx=x^23x-1^3.$ Gunakan aturan turunan dasar terutama aturan hasil kali dan aturan rantai. Misalkan $$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = \underbrace{3x-1}_{p}^3 \implies v’ = 33x-1^2\underbrace{3}_{p’} = 93x-1^2. \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh $$\begin{aligned} f'x & = u’v+uv’ \\ & = 2x3x-1^3+x^293x-1^2 \\ & = 3x-1^22x3x-1+9x^2 \\ & = 3x-1^26x^2-2x+9x^2 \\ & = 3x-1^215x^2-2x \\ & = x15x-23x-1^2. \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx$ adalah $\boxed{x15x-23x-1^2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Jika $y = x\sqrt{2x^2+3}$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$ A. $4x^2-32x^2+3^{-1/2}$ B. $4x^2+32x^2+3^{-1/2}$ C. $2x2x^2+32x^2+3^{-1/2}$ D. $x2x+32x^2+3^{-1/2}$ E. $2x^2+3^{1/2}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} y & = x\sqrt{2x^2+3} \\ & = \sqrt{x^22x^2+3} \\ & = \sqrt{2x^4+3x^2} \\ & = \underbrace{2x^4+3x^2}_{u}^{1/2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac122x^4+3x^2^{-1/2} \cdot \underbrace{8x^3+6x}_{u’} \\ & = \dfrac1224x^3+3x2x^4+3x^2^{-1/2} \\ & = 4x^3+3x2x^4+3x^2^{-1/2} \\ & = x4x^2+3 \cdot \dfrac{1}{x}2x^2+3^{-1/2} \\ & = 4x^2+32x^2+3^{-1/2} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=4x^2+32x^2+3^{-1/2}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Jika $fx = \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$ dengan $x \neq 1,$ maka $f'x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{6x-6}{\sqrt{2x-1^3}}$ B. $\dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}}$ C. $2x\sqrt{1-x^2}-\dfrac{xx^2+3}{\sqrt{1-x^2}}$ D. $-\dfrac{9}{4\sqrt{3x+2^3}}$ E. $\dfrac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$ Pembahasan Diketahui $fx = \sqrt{\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}}.$ Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u = x+2 \implies u’ = 1$ $v = x-1 \implies v’ = 1$ Turunan dari $p$ adalah $\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1x-1-x+21}{x-1^2} \\ & = \dfrac{x-1-x-2}{x-1^2} \\ & = \dfrac{-3}{x-1^2}. \end{aligned}$ Sekarang, akan dicari turunan $fx$ menggunakan aturan rantai. $$\begin{aligned} fx & = \left\underbrace{\dfrac{x+2}{x-1}}_{p}\right^{1/2} \\ \implies f'x & = \dfrac12\left\dfrac{x+2}{x-1}\right^{-1/2} \cdot \underbrace{\dfrac{-3}{x-1^2}}_{p’} \\ & = \dfrac12 \cdot \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} \cdot \dfrac{-3}{x-1^2} \\ & = \dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}} \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f'x = \dfrac{-3}{2x-1^{3/2}\sqrt{x+2}}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui $fx = x.$ Jika turunan pertamanya adalah $f'x$, maka nilai dari $f'999 = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $\dfrac{1}{999}$ E. $999$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $y = fx = x.$ Akan dicari turunan dari $y$. $\begin{aligned} y & = x \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ y^2 & = x^2 \\ 2y \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{x} \end{aligned}$ Untuk $x = 999$, diperoleh $\boxed{f'999 = \dfrac{999}{999} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Turunan pertama dari $y=2x+1^5x+1$ ditulis sebagai $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = ax+b^4cx+d$ dengan $a,b,c,d$ merupakan bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d = \cdots \cdot$ A. $20$ C. $26$ E. $29$ B. $24$ D. $27$ Pembahasan Diketahui $y=2x+1^5x+1.$ Gunakan aturan turunan dasar terutama aturan hasil kali dan aturan rantai. $$\begin{aligned} u & = \underbrace{2x+1}_{p}^5 \implies u’ = 52x+1^4\underbrace{2}_{p’} = 102x+1^4 \\ v & = x+1 \implies v’ = 1 \end{aligned}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh $$\begin{aligned} y’ & = u’v+uv’ \\ & = 102x+1^4x+1 + 2x+1^51 \\ & = 2x+1^410x+1+2x+1 \\ &= 2x+1^410x+10+2x+1 \\ & = 2x+1^412x+11 \end{aligned}$$Karena diketahui $y’ = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = ax+b^4cx+d$, didapat $a = 2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$ sehingga $$\boxed{a+b+c+d=2+1+12+11=26}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Turunan pertama dari invers fungsi $fx = \dfrac{x-1}{2}$ adalah $\dfrac{\text{d}f^{-1}x}{\text{d}x} = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $-\dfrac12$ E. $2$ B. $-1$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac{x-1}{2}$. Pertama, akan dicari invers fungsi $fx$ terlebih dahulu. Misalkan $fx = y$. $\begin{aligned} y & = \dfrac{x-1}{2} \\ 2y & = x-1 \\ 2y+1 & = x \\ 2y+1 & = f^{-1}y \\ 2x+1 & = f^{-1}x \end{aligned}$ Jadi, invers fungsi $fx$ adalah $f^{-1}x = 2x + 1$. Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\boxed{\dfrac{\text{d}f^{-1}x}{\text{d}x} = 2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Invers dari turunan pertama fungsi $fx=3x^2+4x-2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{x-4}{6}$ D. $\dfrac{6}{x+4}$ B. $\dfrac{x+4}{6}$ E. $\dfrac{x-4}{x+4}$ C. $\dfrac{6}{x-4}$ Pembahasan Diketahui $fx = 3x^2+4x-2.$ Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu. $\begin{aligned} f'x & = 32x^{2-1}+41x^{1-1}-0 \\ & = 6x + 4 \end{aligned}$ Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f'x = 6x + 4$. Misalkan $f'x = y$ sehingga $\begin{aligned} y & = 6x + 4 \\ y-4 & = 6x \\ x & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1′}y & = \dfrac{y-4}{6} \\ f^{-1′}x & = \dfrac{x-4}{6}. \end{aligned}$ Jadi, invers dari turunan pertama $fx$ adalah $\boxed{\dfrac{x-4}{6}}$ Jawaban A [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi Soal Nomor 17 Jika $Px = \sqrt[3]{x}$, maka $Px-3xP'x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2 \sqrt[3]{x}$ E. $x \sqrt[3]{x}$ B. $1$ D. $3 \sqrt[3]{x}$ Pembahasan Diketahui $Px = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Turunan pertama dari $Px$ adalah $P'x = \dfrac13x^{1/3-1} = \dfrac13x^{-2/3}.$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} Px-3xP'x & = \sqrt[3]{x}-\cancel{3}x \cdot \dfrac{1}{\cancel{3}}x^{-2/3} \\ & = \sqrt[3]{x}-x^{-2/3+1} \\ & = \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x} = 0. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{Px-3xP'x = 0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Jika $f\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right = x^2+x-2$, maka nilai dari $f'1 = \cdots \cdot$ A. $-49$ C. $0$ E. $49$ B. $-7$ D. $7$ Pembahasan Diketahui $f\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right = x^2+x-2.$ Pertama, kita cari turunan dari $p = \dfrac{x-3}{2x+1}$ menggunakan aturan hasil bagi. Misalkan $u = x-3 \implies u’ = 1$ $v = 2x+1 \implies v’ = 2$ Dengan demikian, $\begin{aligned} p’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{12x+1-x-32}{2x+1^2} \\ & = \dfrac{2x+1-2x+6}{2x+1^2} \\ & = \dfrac{7}{2x+1^2}. \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan rantai, kita akan mencari turunan dari $fx$. $$\begin{aligned} f\left\underbrace{\dfrac{x-3}{2x+1}}_{p}\right & = x^2+x-2 \\ \implies f’\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right \cdot \underbrace{\dfrac{7}{2x+1^2}}_{p’} & = 2x+1 \end{aligned}$$ Kita akan mencari nilai $f'1$ yang berarti $\begin{aligned} \dfrac{x-3}{2x+1}& =1 \\ x-3 & = 2x+1 \\ x & = -4. \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada $f’\left\dfrac{x-3}{2x+1}\right \cdot \dfrac{7}{2x+1^2} = 2x+1$ dan kita akan memperoleh $$\begin{aligned} f’\left\dfrac{-4-3}{2-4+1}\right \cdot \dfrac{7}{2-4+1^2} & = 2-4+1 \\ f'1 \cdot \dfrac{7}{49} & = -7 \\ f'1 & = -7 \times 7 = -49. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{f'1 = -49}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 19 Jika $f \circ g'x = g \circ f'x$, $g2 = g'2 = 2$ dan $f2 = 1$, maka nilai dari $g'1 = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $5$ B. $2$ D. $4$ Pembahasan Diberikan $g2 = g'2 = 2$ dan $f2 = 1.$ Gunakan aturan rantai. $\begin{aligned} f \circ g'x & = g \circ f'x \\ [fgx]’ & = [gfx]’ \\ f'gx \cdot g'x & = g'fx \cdot f'x \end{aligned}$ Sekarang, substitusi $x = 2$. $\begin{aligned} f'g2 \cdot g'2 & = g'f2 \cdot f'2 \\ \cancel{f'2} \cdot 2 & = g'1 \cdot \cancel{f'2} \\ 2 & = g'1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{g'1 = 2}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 20 Laju perubahan fungsi $fx = x^2-3^2$ pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8$ C. $5$ E. $1$ B. $6$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $fx = x^2-3^2 = x^4-6x^2+9$. Laju perubahan fungsi pada saat $x=2$ dinyatakan oleh nilai turunan pertama $fx$ saat $x = 2$, atau secara matematis, $f'2$. Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh $\begin{aligned} fx &= 4x^{4-1}-62x^{2-1}+0 \\ & = 4x^3-12x \end{aligned}$ Untuk $x=2$, diperoleh $\boxed{f'2 = 42^3-122 = 32-24 = 8}$ Jadi, laju perubahan fungsi $fx$ pada saat $x=2$ adalah $\boxed{8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Sebuah persegi dengan sisi $x$ memiliki luas $fx$. Nilai $f'6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $36$ C. $10$ E. $6$ B. $12$ D. $8$ Pembahasan Luas persegi itu dinyatakan oleh $fx = x \cdot x = x^2$. Turunan pertama $fx$ adalah $f'x = 2x$. Substitusi $x = 6$ dan kita akan memperoleh $\boxed{f'6 = 26=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $pt = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$ A. $ jiwa per tahun B. $ jiwa per tahun C. $ jiwa per tahun D. $ jiwa per tahun E. $ jiwa per tahun Pembahasan Diketahui $pt = 10^3t^2-5 \cdot 10^2t + 10^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $pt$ saat $t = 5$. Turunan pertamanya adalah $p't= 10^32t-5 \cdot 10^2.$ Substitusi $t = 5$ dan kita akan memperoleh $\begin{aligned} p'5 & = 10^325-5 \cdot 10^2 \\ & = = \end{aligned}$ Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\boxed{ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Dua bilangan bulat $m$ dan $n$ memenuhi hubungan $2m-n=40$. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $320$ D. $260$ B. $295$ E. $200$ C. $280$ Pembahasan Diketahui $2m-n=40$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = 2m-40$. Karena $p=m^2+n^2$, haruslah $\begin{aligned} p & = m^2+2m-40^2 \\ & = m^2 + 4m^2-160m+1600 \\ & = 5m^2-160m+1600. \end{aligned}$ Agar $p$ minimum, turunan pertama $p$ terhadap variabel $m$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}p}{\text{d}m} & = 0 \\ 10m-160 & = 0 \\ 10m & = 160 \\ m & = 16 \end{aligned}$ $p$ akan minimum saat $m = 16$. Ini berarti nilai $\begin{aligned} p & = 5m^2-160m+1600 \\ & = 516^2-16016+1600 \\ & = 1280-2560+1600 \\ & = 320. \end{aligned}$ Jadi, nilai minimum dari $p$ adalah $\boxed{320}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 24 Jumlah dua bilangan $p$ dan $q$ adalah $6$. Nilai minimum dari $2p^2+q^2 = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $32$ B. $18$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $p+q = 6$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $q = 6-p$. Misalkan $z = 2p^2+q^2$, maka $\begin{aligned} z & = y^2+6-p^2 \\ & = 2p^2 + 36-12p+p^2 \\ & = 3p^2-12p+36. \end{aligned}$ Agar $z$ minimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $p$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}p} & = 0 \\ 6p-12 & = 0 \\ 6p & = 12 \\ p & = 2 \end{aligned}$ $z$ akan minimum saat $p = 2$. Ini berarti kita peroleh $\begin{aligned} z & = 3p^2-12p+36 \\ & = 32^2-122+36 \\ & = 12-24+36 \\ & = 24. \end{aligned}$ Jadi, nilai minimum dari $2p^2-q^2$ adalah $\boxed{24}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 25 Jumlah $2$ bilangan bulat positif $x$ dan $y$ adalah $18$. Nilai maksimum dari $xy$ adalah bilangan dua-digit $\overline{ab}$. Hasil dari $a \times b = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $12$ E. $24$ B. $8$ D. $16$ Pembahasan Diketahui $x+y = 18$. Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $y = 18-x$. Misalkan $z = xy$, maka $\begin{aligned} z & = x18-x \\ & = 18x-x^2. \end{aligned}$ Agar $z$ maksimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $x$ harus bernilai $0$. $\begin{aligned} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} & = 0 \\ 18-2x & = 0 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \end{aligned}$ $z$ akan maksimum saat $x = 9$. Ini berarti nilai $\begin{aligned} z & = 18x-x^2 \\ & = 189-9^2 \\ & = 918-9 \\ & = 81. \end{aligned}$ Jadi, nilai maksimum dari $xy$ adalah $\overline{ab} = 81,$ artinya $a = 8$ dan $b = 1$ sehingga $\boxed{a \times b = 8 \times 1 = 8}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 26 Misalkan $hx = 5 + fx^2$ dengan grafik $fx$ diberikan pada gambar di bawah. Nilai $h'0 = \cdots \cdot$ A. $-16$ C. $-5$ E. $-\dfrac13$ B. $-7$ D. $-\dfrac43$ Pembahasan Diketahui $hx = 5 + fx^2.$ Turunan pertama $hx$ dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai. $\begin{aligned} h'x & = 0 + 2fx \cdot f'x \\ & = 2fx \cdot f'x \end{aligned}$ Jika $x = 0$, diperoleh $h'0 = 2f0 \cdot f'0.$ Nilai fungsi $f$ saat $x = 0$ adalah $f0 = 2$ lihat grafik. $f'0$ menyatakan gradien garis singgung $fx$ di titik $x = 0$. Tampak pada grafik bahwa garis singgung $fx$ di titik tersebut melalui $-1, 6$ dan $0, 2$ sehingga gradiennya adalah $f'0 = m = \dfrac{6-2}{-1-0} = -4$. Untuk itu, $\begin{aligned} h'0 & = 2f0 \cdot f'0 \\ & = 22-4 = -16 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'0 = -16}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Diketahui grafik kurva $y = fx$ seperti pada gambar di bawah. Jika $hx = f \circ fx$ dan $h'x$ menyatakan turunan pertama dari $hx$, maka nilai $h'-2 = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $0$ E. $2$ B. $-1$ D. $1$ Pembahasan Berdasarkan grafik $fx$, tampak bahwa $f-2 = -2.$ Di titik $-2, -2$, terdapat garis singgung dengan kemiringan gradien $m = \dfrac{-2}{2} = -1$. Ini berarti $f'-2 = -1$ karena turunan pertama fungsi di suatu titik merupakan gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut. Oleh karena itu, berdasarkan aturan rantai, kita peroleh $\begin{aligned} hx & = f \circ fx = ffx \\ \implies h'x & = f'fx \cdot f'x \\ h'-2 & = f'f-2 \cdot f'-2 \\ & = f'-2 \cdot f'-2 \\ & = -1 \cdot -1 = 1. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'-2 = 1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik fungsi $fx$ dan $gx$ berikut. Jika $hx=\dfrac{fx}{gx}$, maka nilai dari $h'1 = \cdots \cdot$ A. $-6$ C. $-2$ E. $2$ B. $-3$ D. $1$ Pembahasan Grafik fungsi $fx$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $0, 8$ dan $4, 0$. Persamaan garisnya adalah $\begin{aligned} 8x + 4y & = 8 \cdot 4 \\ 2x + y & = 8 \\ fx & = y = -2x + 8. \end{aligned}$ Untuk $x = 1$, diperoleh $f1 = -21+8 = 6.$ Turunan pertama $fx$ adalah $f'x = -2$ sehingga $f'1 = -2.$ Grafik fungsi $gx$ yang memuat $x = 1$ adalah garis lurus yang melalui titik $0, 0$ dan $6, 8$. Persamaan garisnya adalah $gx = y = \dfrac86x = \dfrac43x.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $g1 = \dfrac43$. Turunan pertama $gx$ adalah $g'x = \dfrac43$ sehingga $g'1 = \dfrac43.$ Diketahui $hx= \dfrac{fx}{gx}$. Dengan menggunakan aturan hasil bagi, diperoleh turunan pertama $hx$, yaitu $h'x = \dfrac{f'x \cdot gx-fx \cdot g'x}{gx^2}.$ Substitusi $x = 1$. $\begin{aligned} h'1 & = \dfrac{f'1 \cdot g1-f1 \cdot g'1}{g1^2} \\ & = \dfrac{-2 \cdot \dfrac43-6 \cdot \dfrac43}{\left\dfrac43\right^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac83-8}{\dfrac{16}{9}} \\ & = -\dfrac{\cancelto{2}{32}}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancelto{3}{9}}{\cancel{16}} \\ & = -2 \cdot 3 = -6 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{h'1 = -6}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 29 Jarak yang ditempuh dalam $t$ dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus $st = t^3+2t^2+t+1$. Pada saat kecepatan partikel tersebut $21$, maka percepatannya adalah $\cdots \cdot$ A. $10$ C. $16$ E. $20$ B. $12$ D. $18$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} st & = t^3+2t^2+t+1 \\ vt & = 21 \end{aligned}$ Karena fungsi kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, diperoleh $\begin{aligned} s't & = vt \\ 3t^2+4t+1 & = 21 \\ 3t^2+4t-20 & = 0 \\ 3t+10t-2 & = 0 \\ \therefore t = -\dfrac{10}{3}~\text{atau}&~t = 2. \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $t$ mewakili besaran waktu sehingga tidak mungkin bertanda negatif. Oleh karenanya, diambil $t = 2$. Fungsi percepatan $at$ merupakan turunan kedua dari fungsi jarak, atau turunan pertama dari fungsi kecepatan sehingga $\begin{aligned} at & = v't = 6t + 4 \\ \text{Subs}&\text{titusi}~t = 2 \\ a2 & = 62+4=16 \end{aligned}$ Jadi, percepatan partikel itu adalah $\boxed{16}$ Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah turunan pertama fungsi berikut ini. $fx=x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}}$ Pembahasan Ada $2$ alternatif untuk menyelesaikan persoalan ini. Cara 1 Menyatakan dalam bentuk pangkat Nyatakan rumus fungsinya dalam bentuk yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat-sifat eksponen. Cara 2 Menggunakan formula Jika $fx = ax^p \sqrt[m]{x^n}$ dengan $p>1$, $m > n$, dan $m,n$ bilangan positif, maka turunan fungsi itu adalah $\boxed{f'x = \dfrac{apm+n}{m}x^{p-1} \sqrt[m]{x^n}}$ Cara 1 Menyatakan dalam bentuk pangkat $\begin{aligned} fx & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{\frac{3}{7 \times 5}} \cdot x^{\frac{1}{7 \times 5 \times 2}} \\ & = x^6 \cdot x^{5/7} \cdot x^{3/35} \cdot x^{1/70} \\ & = x^{6+5/7+3/35+1/70} \\ & = x^{420/70+50/70+6/70+1/70} \\ & = x^{477/70} \\ f'x & = \dfrac{477}{70}x^{477/70-1} \\ & = \dfrac{477}{70}x^{407/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{57/70} \\ & =\dfrac{477}{70}x^5 \cdot x^{5/7 + 3/35 + 1/70} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$ Cara 2 Menggunakan Formula $$\begin{aligned} fx & =x^6\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{[6 \times 7 + 5 \times 5 + 3] \times 2 + 1}{7 \times 5 \times 2}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \\ & = \dfrac{477}{70}x^5\sqrt[7]{x^5 \sqrt[5]{x^3 \sqrt{x}}} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $fx = 4x+34-x^2$. Buktikan bahwa $\dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} = -26x^2+x-8.$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x+34-x^2$ $= 16x-4x^3+12-3x^2.$ Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama dari $fx$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} & = 161x^0-43x^2+0-32x^1 \\ & = 16-12x^2-6x \\ & = -26x^2+3x-8. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{\text{d}fx}{\text{d}x} = -26x^2+x-8}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diberikan fungsi $fx=ax^2+bx+c$. Jika $f'0 = 2$, $f'1 = 4$, dan $f2=6$, carilah nilai $a, b$, dan $c$. Pembahasan Diketahui $fx=ax^2+bx+c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x = 2ax + b.$ Karena $f'0 = 2$, kita peroleh $2a\color{red}{0}+b = 2 \Leftrightarrow b = 2.$ Karena $f'1 = 4$ dan $b=2$, kita peroleh $\begin{aligned} 2a\color{red}{1}+\color{blue}{2} & = 4 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1. \end{aligned}$ Karena $f2 = 6$, serta $a = 1$ dan $b = 2,$ kita peroleh $\begin{aligned} fx & = ax^2+bx+c \\ \implies f2 & = 12^2+22+c \\ 6 & = 4+4+c \\ c & = 6-8 = -2. \end{aligned}$ Jadi, nilai $a,b,c$ berturut-turut adalah $\boxed{1, 2, -2}$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui $fx = ax^3+bx^2+cx+d$, $f-1=4$, $f1 = 0$, $f'-1=0$, dan $f'0 = -3$. Hitunglah nilai-nilai berikut ini. a. $a, b, c$, dan $d$. b. $f'1$ dan $f’\left-\dfrac23\right$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $fx = ax^3+bx^2+cx+d.$ Karena $f'0 = -3$ di mana $f'x$ menyatakan turunan pertama $fx$, dapat ditulis $\begin{aligned} f'x & = 3ax^2+2bx+c \\ f'0 & = 3a0^2+2b0+c \\ -3 & = c. \end{aligned}$ Sekarang, $fx = ax^3+bx^2-3x+d.$ Untuk $f-1=4$, kita peroleh $$\begin{aligned} a-1^3+b-1^2-3-1+d & = 4 \\ -a+b+3+d & = 4 \\ -a+b+d & = 1 && \cdots 1 \end{aligned}$$Untuk $f1 = 0$, kita peroleh $$\begin{aligned} a1^3+b1^2-31+d & = 0 \\ a+b-3+d & = 0 \\ a+b+d & = 3 && \cdots 2 \end{aligned}$$Eliminasi $b$ dan $d$ pada Persamaan $1$ dan $2$ di atas sehingga diperoleh $a = 1$. Sekarang, $fx = x^3+bx^2-3x+d$ dan $f'x = 3x^2+2bx-3$. Karena $f'-1 = 0$, diperoleh $\begin{aligned} 3-1^2 + 2b-1-3 & = 0 \\ 3-2b-3 & = 0 \\ b & = 0. \end{aligned}$ Substitusi nilai $b = 0$ dan $a = 1$ pada persamaan $a+b+d = 3$. $1+0+d = 3 \Leftrightarrow d = 2$ Jadi, nilai $a,b,c,d$ berturut-turut adalah $1, 0, -3, 2.$ Jawaban b Diketahui $fx = x^3-3x+2$ sehingga $f'x = 3x^2-3.$ Dengan demikian, $f'1 = 31^2-3 = 3-3 = 0$ dan $\begin{aligned} f’\left-\dfrac23\right & = 3\left-\dfrac23\right^2-3 \\ & = -\dfrac43-3 \\ & =-\dfrac53 \end{aligned}$ [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan $fx = x^4+ax^2+b$. Carilah nilai $a$ dan $b$ agar $f1-1=f'1-2=0.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^4+ax^2+b.$ Turunan pertama dari $fx$ adalah $f'x=4x^3+2ax.$ Karena $f1-1 = 0$, diperoleh $\begin{aligned} 1^4+a1^2 + b-1 & = 0 \\ 1+a+b-1 & = 0 \\ a + b & = 0* \end{aligned}$ Karena $f'1-2=0$, diperoleh $\begin{aligned} 41^3+2a1-2 & = 0 \\ 4+2a-2 & = 0 \\ 2a & = -2 \\ a & = -1. \end{aligned}$ Didapat $\boxed{a=-1}$. Dari $*$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = 1}$ [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui $gx=ax^2+bx+c$. Carilah nilai $a, b$, dan $c$ yang memenuhi sistem persamaan berikut ini. $g0 = 0$ dan $x+1g'x-2gx+4=0$ Pembahasan Diketahui $gx=ax^2+bx+c.$ Karena $g0=0$, diperoleh $a0^2+b0+c = 0 \Leftrightarrow c = 0.$ Jadi, $gx = ax^2+bx$ sehingga turunan pertamanya adalah $g'x = 2ax + b$. Dari $x+1g'x-2gx+4=0$, kita peroleh $$\begin{aligned} x+12ax+b-2ax^2+bx+4 & = 0 \\ \cancel{2ax^2}+bx+2ax+b-\cancel{2ax^2}-2bx+4 & = 0 \\ -bx+2ax+b+4 & = 0 \\ -b+2ax + b+4 & = 0 \end{aligned}$$Di ruas kiri, terdapat variabel $x$ dengan koefisien $-b+2a$ serta konstanta $b+4$, sedangkan di ruas kanan hanya ada konstanta $0$. Jika kita samakan, kita peroleh $\begin{cases} -b+2a & = 0 && \cdots 1 \\ b+4 & = 0 && \cdots 2 \end{cases}$ Dari Persamaan $2$, diperoleh $b = -4.$ Substitusi $b=-4$ pada Persamaan $1.$ $\begin{aligned} -\color{red}{b}+2a & = 0 \\ -\color{red}{-4}+2a & = 0 \\ 4+2a & = 0 \\ a & = -2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $a, b, c$ berturut-turut adalah $\boxed{-2, -4, 0}$ [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 7 Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga jumlahnya $8$, tentukan nilai maksimum dan minimum dari $a^3+b^3.$ Pembahasan Diketahui $a+b=8$, ekuivalen dengan $a = 8-b.$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} a^3+b^3 & = 8-b^3+b^3 \\ & = 512-192b+24b^2-\cancel{b^3}+\cancel{b^3} \\ & = 24b^2-192b+512. \end{aligned}$$Misalkan $fb = 24b^2-192b+512$. Ini merupakan fungsi kuadrat yang terbuka ke atas seperti huruf U, artinya memiliki nilai minimum. Untuk mencari nilai minimum, buat $f'b = 0$, lalu tentukan nilai $b$. $\begin{aligned} f'b & = 0 \\ \Rightarrow 48b-192 & = 0 \\ 48b & = 192 \\ b & = 4 \end{aligned}$ Karena $b=4$, haruslah $a = 4.$ Jadi, nilai minimum dari $a^3+b^3$ tercapai ketika $a = b = 4$, yaitu $\boxed{4^3+4^3=128}$ Sementara itu, nilai maksimum dari $a^3+b^3$ tidak ada karena tidak terbatas di atas. Catatan Nilai maksimum dari $a^3+b^3$ BUKAN takhingga. [collapse] .

soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri